Kwadratische functies: hoe los je ze op?

Kwadratische functies komen voor in verschillende vakgebieden zoals bij het berekenen van oppervlaktes in de wiskunde en bij de kwadratenwet in de natuurkunde. In deze blog leer je hoe je een kwadratische functie oplost. Benieuwd naar andere functies? Lees dan deze blog.

Wat is een kwadraat?

Een kwadraat is de tweede macht en betekent dat de waarde met zichzelf wordt vermenigvuldigd.

Voorbeeld: $4 \cdot 4 = 4^2 = 16$ en spreken we uit als ‘vier kwadraat’.

Een functie is kwadratisch wanneer de onbekende letter x in het kwadraat staat én wanneer er geen andere x in de functie is met een hogere macht dan twee.

De standaardfunctie is $y = ax^2 + bx + c$.

Hierin zijn a, b, en c getallen en is x de onbekende. Als je van zo’n kwadratische functie een grafiek maakt is dat altijd een parabool. Er zijn twee typen parabolen, een dal- en bergparabool.

Hoe los je een kwadratische vergelijking op?

Voor het oplossen van een kwadratische vergelijking zijn er drie mogelijkheden. Daarvoor is het belangrijk dat je goed kijkt uit welke variabelen de kwadratische vergelijking bestaat. Hier volgen de mogelijkheden.

Optie 1: $ax^2 + c = 0$

Wanneer de vergelijking alleen uit de variabelen a en c uit de standaardfunctie bestaat, los je de vergelijking als volgt op.

Voorbeeld: $2x^3-8=0$

Stap 1: Haal c naar de rechter kant van het =-teken.

$$2x^2=8$$

Stap 2: Deel links en rechts van het =-teken door a.

$$x^2=4$$

Stap 3: Neem links en rechts de wortel. Let op: het kwadraat van -2 is ook 4!

$$x=2 \vee x=-2$$

Optie 2: $ax^2+bx=0$

Wanneer de kwadratische vergelijking een waarde van c=0 heeft, los je de vergelijking als volgt op:

Voorbeeld: $-2x^2+3x=0$

Stap 1: Haal x buiten haakjes.

$$x(-2x+3)=0$$

Stap 2: Stel dat één van beide termen 0 is.

$$x=0 \vee -2x+3=0$$

Stap 3: Los op.

$$x=0 \vee -2x=-3$$

$$x=0 \vee x=1\dfrac{1}{2}$$

Optie 3: $ax^2+bx+c=0$

Er zijn twee methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen die uit drie termen bestaan:

• De product-som-methode
• De abc-formule

Eerst probeer je of de product-som-methode een optie is. Hiervoor ga je de functie omschrijven naar $(x + p)(x + q) = 0$. Om p en q te bepalen ga je opzoek naar twee getallen waarbij $p + q = b$ en $p \cdot q = c$.

Voorbeeld 1: $1: x^2 + 9x + 20 = 0$

Stap 1: Ga opzoek naar twee getallen die samen op b uitkomen en met elkaar vermenigvuldigd op c.

$4 + 5 = 9$ en $4 \cdot 5 = 20$

dus $p = 4$ en $q = 5$

Stap 2: Vul de gevonden p en q in.

$$(x + 4)(x + 5) = 0$$

Stap 3: Los de vergelijking op. Voor elke oplossing wil je dat een stukje tussen haakjes uitkomt op 0.

$$x+4=0 \vee x+5=0$$

$$x=-4 \vee x=-5$$

Bij sommige vergelijkingen kan het natuurlijk gebeuren dat je een vergelijking krijgt waarbij je geen p en q kan vinden. In die gevallen gebruik je de welbekende abc-formule. Hiervoor bereken je eerst de discriminant:

Voor de discriminant geldt:

• Als D > 0, dan zijn er twee snijpunten met de x-as.
• Als D = 0, dan raakt de functie de x-as en is er dus één snijpunt.
• Als D < 0, dan zijn er geen snijpunten met de x-as.

Als je de discriminant hebt uitgerekend kun je deze invullen in de abc-formule om de oplossingen voor x te berekenen:

Voorbeeld 2: $3x^2+7x-9=0$