Vergelijkingen: hoe los je ze op?

In een vergelijking worden twee termen aan elkaar gelijk gesteld. Een vergelijking kan opgelost worden door de waarde van de onbekende letter uit te rekenen. De functie F = 1,8C + 32 kan bijvoorbeeld worden gebruikt om uit te rekenen hoeveel graden Celsius (C) overeenkomt met een temperatuur in Fahrenheit (F) van 112 °F. Lees verder hoe je deze vergelijking oplost!

Wat is een vergelijking?

In een vergelijking worden het linker- en rechterlid gelijkgesteld door het =-teken. Dat betekent dat de termen links gelijk moeten zijn aan de termen rechts. De oplossing geeft aan voor welke waarde van de onbekende letter (in de meeste gevallen x) het linker- en rechterlid gelijk zijn aan elkaar. De bekendste vergelijking is de lineaire vergelijking en dat is een vergelijking zonder kwadraten of wortels. Dit wordt ook wel een eerstegraads vergelijking genoemd.

Een voorbeeld: $2x+5=11$

Dit is een vergelijking waarbij links van het =-teken $2x+5$ staat en rechts van het =-teken 11 staat. Dit is een lineaire vergelijking. De term links van het =-teken kun je tekenen in een grafiek $y=2x+5$. Zie de figuur. Je kunt de waarden van x en y ook in een tabel zetten. In de tabel lees je af dat voor een waarde van $x=3$, y gelijk is aan 11. De oplossing van de vergelijking $2x+5=11$ is dus x=3.

Er bestaan nog veel meer andere soorten vergelijkingen, zoals de kwadratische vergelijking. Dit wordt ook wel een tweedegraads vergelijking genoemd. Een kwadratische vergelijking bevat een x2. Andere soorten vergelijkingen zijn:

• wortelvergelijkingen
• exponentiële vergelijkingen
• logaritmische vergelijkingen
• Gebroken vergelijkingen

Hoe los je een vergelijking op?

Voor het oplossen van lineaire vergelijkingen volg je 3 stappen. Zie de volgende twee voorbeelden:

Voorbeeld 1: $y=3(x-8)=6$

Stap 1: werk zo nodig de haakjes en breuken weg.

$3x–24=6$

Stap 2: breng alles met een letter naar links, en alle getallen naar rechts.

$3x=30$ ($+24$ bij beide termen)

Stap 3: deel door het getal dat voor de onbekende staat.

$x=10$ ($:3$ bij beide termen)

Voorbeeld 2: $F=1,8C+32=112$

Stap 1: werk zo nodig de haakjes en breuken weg.

$1,8C+32=112$

Stap 2: breng alles met een letter naar links, en alle getallen naar rechts.

$1,8C=80$  ($-32$ bij beide termen)

Stap 3: deel door het getal dat voor de onbekende staat.

$C=44,4$ °C ($:1,8$ bij beide termen)

Voorbeeldopgaven

Basis

Los de vergelijking $5(x+3)=30$ op.

Uitwerking

1. $5(x+3)=30$, $5x+15=30$
2. $5x=15$
3. $x=3$

Gevorderd

De temperatuur van een kop koffie koelt af volgens de volgende formule:

$T=84−7t$

Hierbij is T de temperatuur in graden Celsius en t de tijd in minuten.

1. Daan drinkt zijn koffie na 3 minuten. Bereken de temperatuur van de koffie.
2. De koffie heeft een temperatuur van 70 graden Celsius. Bereken hoe lang de koffie al staat af te koelen.
3. De koffie is afgekoeld naar kamertemperatuur (20 ⁰C). Bereken hoe lang dat minimaal geduurd heeft in minuten en seconden nauwkeurig.

Uitwerking

1. $t=3$, dus $T=84–7⋅3=63$ °C.
   Dus de temperatuur is 63 °C.
2. $T=70$°C
   $84−7t=70$
   $7t=14$
   $t=$2 minuten
   De koffie staat 2 minuten af te koelen.
3. $T=20$°C
   $84–7t=20$
   $7t=104$
   $t=\frac{104}{7}=14\frac{6}{7}$ minuten
   Dit zijn 14 minuten en ongeveer 52 seconden.