Logaritmische functies: hoe los je ze op?

De logaritme van een getal is de macht van een getal waartoe een ander getal verkregen wordt. Een voorbeeld is $\log_2{(8)}$. Hiermee wordt bedoeld tot welke macht/exponent je het grondtal 2 moet verheffen om 8 te krijgen. Logaritmes worden toegepast om exponentiële functies op te lossen. Benieuwd naar andere functies? Lees dan deze blog.

Logaritmische functies

Net zoals worteltrekken het omgekeerde is van machtsverheffen, zo is een logaritmische functie het omgekeerde van een exponentiële functie. Voor het oplossen van een exponentiële functie gebruik je dus een logaritme en vice versa. Hier volgt een stappenplan voor het oplossen van een exponentiële functie:

Stap 1: Schrijf de vergelijking om naar de vorm $g^x=y$. Hier noemen we g het grondtal van de logaritme. Als er geen grondtal gegeven is dan is het grondtal altijd 10, dus $\log{(x)}=\log_{10}{(x)}$.

Stap 2: Als $g^x=y$ dan $x=\log_g{(y)}$.

Stap 3: Als je mag afronden, reken je het logaritme uit op je GR.

Voorbeeld: los op voor $x: {2\cdot6}^x-4=3$

Stap 1:

$$2 \cdot 6^x = 7$$

$$6^x = 3 \frac{1}{2}$$

Stap 2:

$$x = \log_6{(3\frac{1}{2})}$$

Stap 3:

$$\log_6{(3\frac{1}{2})}\approx0.699.$$

Logaritmen zonder rekenmachine

Wanneer je een logaritmische functie moet oplossen, zal je de functie in sommige gevallen eerst moeten omschrijven naar $\log_g{(x)}=a$.

Het stappenplan is als volgt:

Stap 1: Schrijf om naar een vorm met één logaritme of twee logaritmen met hetzelfde grondtal.

Stap 2: Los op voor x.

Maak hierbij gebruik van de volgende rekenregels van logaritmen:

1. $\log_g{(a)}+\log_g{(b)}=\log_g{(a\cdot b)}$
2. $\log_g{(a)}-\log_g{(b)}=\log_g{(\frac{a}{b})}$
3. $\log_g{(b^p)}=p\cdot\log_g{(b)}$
4. $\log_g{(b)}=\frac{\log{(b)}}{\log{(g)}}$

Voorbeeld: Los op voor x: $\log_3{(x+2)}=2-\log_3{(x-4)}$

Stap 1: Schrijf om naar $\log_g{(x)}=a:$

$\log_3{(x+2)(x-4)}=1$ (rekenregel 1)

Stap 2: Los op.

Voorbeeldopgaven

Basis

Los algebraïsch op: $5\cdot3^{2x}=20$

Uitwerking

Gevorderd

De functie $y=4\cdot2^{2x+3}$ kun je ook schrijven als $\log_2{(y)}=ax+b$. Geef a en b.

Uitwerking

We nemen eerst aan beide kanten het logaritme met grondtal 2.

Dus a = 2 en b = 5.